如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,底面, ,为的中点,为的中点.
(Ⅰ)证明:直线平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成角的大小;
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)异面直线与所成角为.
解析试题分析:(Ⅰ)证明:直线平面,证明线面平行,首先证明线线平行,可用三角形的中位线平行,也可用平行四边形的对边平行,本题虽有中点,但没直接的三角形,可考虑用平行四边形的对边平行,可取OD的中点G,连结CG,MG,证明四边形为平行四边形即可,也可取中点,连接,,利用面面平行则线面平行,证平面平面即可.也可利用向量法,作于点P,如图,分别以,所在直线为轴建立坐标系,利用向量与平面的法向量垂直,即数量积等于零;(Ⅱ)求异面直线与所成角的大小,分别写出异面直线与对应向量的坐标,由向量的夹角公式即可求出.
试题解析:方法一(综合法)
(Ⅰ)取中点,连接,
又
(Ⅱ)
为异面直线与所成的角(或其补角),
作连接 , ,,,
, ,
所以 与所成角的大小为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以,所在直线为轴建立坐标系.
,
,
(Ⅰ),
设平面的法向量为,则
即 , 取,解得
..
(Ⅱ)设与所成的角为,
, , 即与所成角的大小为.
考点:线面平行的判断,异面直线所成的角.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.点E,F分别为侧棱PB,PC上的点,且=λ.
(1)求证:EF∥平面PAD.
(2)当λ=时,求异面直线BF与CD所成角的余弦值;
(3)是否存在实数λ,使得平面AFD⊥平面PCD?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明理由.
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如图,平面平面,是等腰直角三角形,,四边形是直角梯形,∥AE,,,分别为的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
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如图,在三棱柱中,△是边长为的等边三角形,平面,,分别是,的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)若为上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,求平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知几何体E—ABCD如图所示,其中四边形ABCD为矩形,为等边三角形,且点F为棱BE上的动点。
(I)若DE//平面AFC,试确定点F的位置;
(II)在(I)条件下,求二面角E—DC—F的余弦值。
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