Question

已知双曲线的中心在原点，离心率

3

，若它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合，求该双曲线与抛物线y²=4x的交点到原点的距离．

Answer 1

分析：由离心率求得a和c的关系，根据双曲线方程准线与抛物线y²=4x的准线重合，得其准线方程，求得a和c的关系，进而求得a，c，则求得b，双曲线方程可得，把抛物线和双曲线方程联立求得交点坐标，则点到原点的距离可求．

解答：解：由双曲线的中心在原点，离心率

3

，可得

c

a

=

3

．
由一条准线与抛物线y²=4x的准线重合，得准线为x=-1，
所以

a2

c

=1，
故a=

3

，c=3，b=

6

，
所以双曲线方程为

x2

3

-

y2

6

=1，
由

x2 3 - y2 6 =1 y2=4x

得交点为（3，±2

3

），
所以交点到原点的距离是

9+12

=

21

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的渐近线和准线，以及抛物线的准线，属中档题．