Question

2．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=$\frac{[x]}{x}$（x＞0），则给出以下四个结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的值域为（0，1]
• B． 函数f（x）没有零点
• C． 函数f（x）是（0，+∞）上的减函数
• D． 函数g（x）=f（x）-a有且仅有3个零点时$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 当0＜x＜1时，[x]=0，f（x）=0，故A，B错误；
C中f（0.3）=0，f（1.3）＞0，可排除C；
D中因为f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a，有且仅有3个零点，则方程$\frac{[x]}{x}$=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．
在[x]=1时，只能有一个f（x）=a，不同的[x]对应不同的a值，对式子变形可得$\frac{[x]}{[x]+1}$＜a≤1，只需讨论
[x]=3，则有 $\frac{3}{4}$＜a≤1；若[x]=4，则有 $\frac{4}{5}$＜a≤1．最后确定a的范围．

解答 解：当0＜x＜1时，[x]=0，f（x）=0，故A，B错误；
C中f（0.3）=0，f（1.3）＞0，故C错误；
D中因为f（x）=$\frac{[x]}{x}$-a，有且仅有3个零点，
则方程$\frac{[x]}{x}$=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，则 $\frac{[x]}{x}$=0，不合题意；
若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，
∴$\frac{[x]}{[x]+1}$＜$\frac{[x]}{x}$≤1，
∴$\frac{[x]}{[x]+1}$＜a≤1，
且 $\frac{[x]}{[x]+1}$随着[x]的增大而增大．
故不同的[x]对应不同的a值，
故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，则有 $\frac{1}{2}$＜a≤1；
若[x]=2，则有 $\frac{2}{3}$＜a≤1；
若[x]=3，则有 $\frac{3}{4}$＜a≤1；
若[x]=4，则有 $\frac{4}{5}$＜a≤1．
要使有三个实数根，即[x]=1，2，3．
∴$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{4}{5}$．
故选D．

点评 考查了定义法和抽象函数，难点是对题意的理解和分类讨论．