Question

13．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，恒坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，再将所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=t在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式、和差公式及其三角函数的单调性即可得出；
（Ⅱ）由图象变换可得到函数g（x）=$2sin（4x-\frac{π}{6}）$，由$0≤x≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{6}$≤$4x-\frac{π}{6}$≤$\frac{11π}{6}$，由g（x）=0，可得$4x-\frac{π}{6}$=0，π，2π，3π．即可得出．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+2=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+3
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$+3．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．
（Ⅱ）由题意，将图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，再将所得的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，
可得到函数g（x）=$2sin（4x-\frac{π}{6}）$+3，
由$0≤x≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{6}$≤$4x-\frac{π}{6}$≤$\frac{11π}{6}$，
由g（x）=0，可得$4x-\frac{π}{6}$=0，π，2π，3π．
∴方程g（x）=t在区间[0，$\frac{π}{2}$]上所有根之和=$\frac{1}{4}$$[\frac{π}{6}+（π+\frac{π}{6}）+（2π+\frac{π}{6}）+（3π+\frac{π}{6}）]$=$\frac{5π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、图象变换、函数的零点，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．