分析 由已知可求范围$\frac{α}{2}$∈(0,$\frac{π}{8}$),利用已知等式即可解得tan$\frac{α}{2}$=$\sqrt{5}$-2,由3sin β=sin(2α+β),利用三角函数恒等变换的应用可得tan(α+β)=2tanα,利用二倍角公式可求tan(α+β)=1,结合α+β的范围,利用正切函数的图象和性质即可得解.
解答 解:∵$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$,整理可得:tan2$\frac{α}{2}$+4tan$\frac{α}{2}$-1=0,解得tan$\frac{α}{2}$=-2$±\sqrt{5}$,
∵α∈(0,$\frac{π}{4}$),$\frac{α}{2}$∈(0,$\frac{π}{8}$),
∴tan$\frac{α}{2}$=$\sqrt{5}$-2.
∵3sin β=sin(2α+β),可得:3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],
∴3sin (α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,
∴可得:sin (α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
∴可得:tan(α+β)=2tanα=2tan(2×$\frac{α}{2}$)=2×$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=2×$\frac{2(\sqrt{5}-2)}{1-(\sqrt{5}-2)^{2}}$=1,
∵α,β∈(0,$\frac{π}{4}$),
∴α+β∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴α+β=$\frac{π}{4}$.
故答案为:$\frac{π}{4}$.
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,二倍角公式,正切函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想和计算能力,属于基础题.
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A. | ρ=1+ρcosθ | B. | ρ=1+cosθ | C. | ρ=1+2ρcos θ | D. | ρ=1+2cos θ |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 1 |
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