Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知动圆S过定点P（﹣2 ），且与定圆Q：（x﹣2 ）2+y2=36相切，记动圆圆心S的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，点M，N为椭圆C上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是定值，求出这个值；如果不是定值，说明理由；
（3）在（2）条件下，求四边形AMBN面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆S的半径为R，

∵点 在圆 内，且两圆相切

∴设PS=R，QS=6﹣R，

∴ ，

∴圆心S的轨迹为以P，Q为焦点，长轴长为6的椭圆

∴2a=6，2c=4 ，∴a=3，c=2 ，∴b2=1，

∴曲线C的方程为

（2）解：由（1）可知A（3，0），B（0，1）

设AM的斜率为k，则直线AM方程为y=k（x﹣3），直线BN方程为y=﹣kx+1

由 ，得M点坐标为 …

由 ，得

所以MN的斜率

（3）解：设MN的方程为 ，

由 ，得2x2+6mx+9m2﹣9=0

则 ，

A到直线MN的距离分别为

B到直线MN的距离分别为

所以四边形AMBN面积 =

又﹣1＜m＜1，所以四边形AMBN面积的取值范围是

【解析】（1）根据两圆相切可得出P S + Q S = P Q，进而得到圆心S的轨迹为以P，Q为焦点，长轴长为6的椭圆，利用已知求出椭圆的方程。（2）由斜截式求出两条直线的方程，联立它们与椭圆的方程，求出M、N两点的坐标，进而求出MN的斜率。（3）联立直线和椭圆的方程，消去y得到关于x的方程2x2+6mx+9m2﹣9=0，利用韦达定理，求出 x M+ x N 、xM .xN 的表达式，分别求出MN、以及A到直线MN的距离分别为 d1 和B到直线MN的距离分别为 d2，由题意四边形AMBN面积 S = S △ AMN + S △ BMN= M N ( d 1 + d 2 ),再根据m的取值范围进而得到边形AMBN面积的取值范围。