Question

下面的一组图形为侧棱SA垂直于底面ABCD的某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面，画出四棱锥S-ABCD的空间图形并研究
（I）求直线SC与平面SAD所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小；
（Ⅲ）求此四棱锥S-ABCD外接球半径与内切球半径之和．

Answer 1

分析：（I）证明∠DSC为直线SC与平面SAD所成的角，利用正切函数，可得结论；
（II）作BE⊥SC，垂足为E，连接DE，则DE⊥SC，可得∠BED为二面角B-SC-D的平面角，利用余弦定理可求；
（III）SC为S-ABCD外接于球的直径，利用等体积法，可求内切球半径，从而可得结论．

解答：解：（I）如图所示，由题意，SA=AB=a，SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD内的交线，∴SA⊥底面ABCDSA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
则CD⊥平面SAD，∴∠DSC为直线SC与平面SAD所成的角，
∵CD=a，SD=

2

a
∴tan∠DSC=

2

2

∴直线SC与平面SAD所成的角为arctan

2

2

；
（II）作BE⊥SC，垂足为E，连接DE，则DE⊥SC，
∴∠BED为二面角B-SC-D的平面角
∵BC=a，SB=

2

a，∴SC=

3

a
∴BE=

a• 2 a

3 a

=

6

3

a
在△BED中，cos∠BED=

( 6 3 a)2+( 6 3 a)2-2a2

2• 6 3 a• 6 3 a

=-

1

2

∴∠BED=120°；
（III）SC为S-ABCD外接于球的直径，SC=

3

a，∴半径为

3

2

a
设内切球半径为r，则

1

3

•(

1

2

a2×2+

1

2

a•

2

a×2)r=

1

3

×a2×a
∴r=(

2

-1)a
∴四棱锥S-ABCD外接球半径与内切球半径之和为

3

2

a+(

2

-1)a．

点评：本题考查线面角，面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．