Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C（B在FC之间），且|BC|=2|BF|，|AF|=12，则p的值为

 

．

Answer 1

分析：根据过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=12，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|BF|=a，而而 x1+

p

2

=12，x2+

p

2

=4，且 x1x2=

p2

4

，可求得p的值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=24，
设|BF|=a，则2a+a+12=24?a=4，
而 x1+

p

2

=12，x2+

p

2

=4，且 x1x2=

p2

4

，
∴（12-

p

2

）（4-

p

2

）=

p2

4

，
得p=6．
故答案为：6．

点评：此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．