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7个人按下列要求并排站成一排,分别有多少种不同的站法?

(1)甲不站在正中间,也不站在两端;

(2)甲、乙两人相邻;

(3)甲、乙之间相隔2人;

(4)甲站在乙的右边;

(5)甲、乙都与丙不相邻.

(6)若7个人站成两排,第一排3人,第二排4人,共有多少种站法?

(7)若7个人站成一个圆环,有多少种站法?

分析:(1)的限制条件甲不站在正中间与两端,意思是说甲只能站在余下的4个位置,因此可以先在这4个位置上排上甲而后再排其他人员,或者先从其余六人中选出三人排在正中间和两端.

(2)由于甲、乙两人相邻,因此可把甲、乙两人合看作一个元素(捆绑法)参加全排列,但不要忘记甲、乙两人的局部排列问题.

(3)可以先从其余五人中选两人站在甲、乙之间,然后将此二人连同甲、乙四人看作一个元素(捆绑法)参加全排列,同样甲、乙之间也要进行全排列;还可以运用“数数法”将甲、乙站的位置确定出来,即甲、乙只能在1与4,2与5,3与6,4与7这四种位置上.

(4)甲不是站在乙的右边,就是站在乙的左边,两者必居其一,因此可以用“调序法”求解,或先按题目的要求从七个位置中选两个将甲、乙排好,然后再排其余人员.

(5)本题可分成甲、乙相邻但不与丙相邻及甲、乙不相邻且都不与丙相邻两类进行研究.

(6)把元素排成几排的问题,可化归为一排考虑,再在一排中分段处理.

(7)7人站成一个圆环,剪开排成一排,对应7个排列.故环状排列问题用剪断直排法处理.

(1)解法一:先让甲站在余下的四个位置中的任一位置上,有C种,再让余下的6人站在其他位置上,有A种不同站法,根据分步计数原理,共有N=C·A=2 880种不同站法.

解法二:甲不站正中间也不站在两端,可先从其余6人中任选3人站在这3个位置上(占位法),有A种站法,再让剩下的4人(含甲)站在其他4个位置上,有A种站法,根据分步乘法计数原理,知共有N=A·A=2 880种不同站法.

解法三:先让甲以外的6人站成一排,有A种站法,再让甲插入这6个人之间的4个空档位置(不插在正中间),有A种方法.故共有N=A·A=2 880种不同的站法.

解法四:整体排异法.无限制条件的7人并排站成一排,有A种站法,去掉甲站在正中间及两端的情况,共有AA种,故共有N=A-AA=2 880种不同站法.

(2)解法一:捆绑法.先把甲、乙两人合在一起看作一个元素,参加全排列共有A种站法,然后甲、乙两人局部排列,共有A种站法,根据分步乘法计数原理,共有N=A·A=1 440种不同站法.

解法二:插空法.先让甲、乙以外的5个人站队,有A种站法,再把甲、乙两人合在一起作为一个元素插入5个人形成的6个空档中,有A种站法,最后甲、乙两人局部排列,有A种站法,根据分步乘法计数原理,共有N=AAA=1 440种不同站法.

(3)解法一:捆绑法.先从甲、乙以外的5人中任选2人站在甲、乙之间,有A种站法,再将甲、乙及中间二人共4人看作一个整体参加全排列,有A种站法,最后甲、乙进行局部排列,有A种站法.根据分步乘法计数原理,知共有N=A·A·A=960种不同站法.

解法二:数数法与插空法相结合.先让甲、乙以外的5人站队,有A种站法,再在5人形成的6个空档中的1与4,2与5,3与6,4与7的位置上排上甲、乙,共有4A种站法,根据分步乘法计数原理,有N=A·4A=960种不同站法.

(4)解法一:组合法——顺序一定用组合.先在7个位置中选2个位置排上甲、乙(甲在乙的右边——顺序一定问题),有C种站法,再在余下的5个位置上站其余5人,有A种站法,根据分步乘法计数原理,知共有N=C·A=2 520种.

解法二:调序法.甲在乙的右边与甲在乙的左边的情况是一一对应的,因此,甲在乙的右边的站法是7人任意站法的一半.故共有N=A=2 520种.

(5)解法一:直接法.分类求解.将问题分成甲与乙相邻但不与丙相邻及甲、乙、丙互不相邻两类研究.第一类情况可先让其余4人站队,有A种站法,他们之间形成5个空档,再把甲、乙两人看作一个整体与丙共两个元素插入5个空档,有A种站法,最后甲、乙两人进行局部排列,有A种站法,故这类情况有A·A·A种不同站法;第二类情况也可先让其余4人站队,有A种方法,再把甲、乙、丙3人插入5个空档,共有A种方法,因此这类情况有A·A种,根据分类加法计数原理,知共有N=A·A·A+A·A=2 400种不同站法.

解法二:间接法.整体排异,7个人排成一排,有A种方法.甲、乙都与丙相邻的站法,即丙站在甲、乙中间的站法共有A·A种;甲与丙相邻或乙与丙相邻的站法均为A·A种.但甲、丙相邻与乙、丙相邻的站法中都包括了丙站在甲、乙中间,故根据分类计数原理和整体排异策略知,共有N=A-2A·A+A·A=2 400种不同方法.

(6)A=5 040种不同站法.

(7)=720种不同的站法.

绿色通道:“在”与“不在”,“相邻”与“不相邻”或“相间”,是常见的有限制条件的排列问题.“在”一般用“直接法”求解,“不在”可用“间接法”;“相邻”问题一般用“捆绑法”,“不相邻”问题用“插空法”;“顺序一定”可用“调序法”或“组合法”.一般来说,解排列、组合应用题除了上述方法外,有时还用“占位法”或“数数法”,更多情况下需要对问题进行恰当的分类或分步.分类时要注意“类与类”之间的并列性和独立性、完整性;分步时要注意“步与步”之间的连续性和独立性、依赖性,做到不重不漏.

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