Question

已知三棱锥P—ABC,PA⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n).

(1)画出这个空间直角坐标系并求出直线AB与x轴所成的较小的角;

(2)若M为BC的中点，n=m,求直线AM与PM所成锐角.

Answer 1

解:(1)根据已知条件,画空间直角坐标系如图4.

图4

以射线AC为y轴正方向,射线AP为z轴正方向,A为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,过点B作BE⊥Ox,垂足为E,则

因为B(m,m,0),所以E(m,0,0),

在Rt△AEB中,∠AEB=90°,|AE|=m,|EB|=m,

∴tan∠BAE=.∴∠BAE=30°,

即直线AB与x轴所成的较小的角为30°.

(2)连接AM和PM，∵M(x,y,z)为BC的中点,且B(m,m,0),C(0,2m,0),由中点坐标公式可得x=,y=,z==0,∴M(,,0).

∵A(0,0,0),∴由两点间的距离公式得|AM|==m.

∵P（0,0,2n）且n=m,∴P(0,0,m).∴|OP|=m,故|OP|=|AM|.

∵∠PAM=90°，

∴∠PMA=45°，即直线AM与PM所成锐角为45°.