Question

已知函数f(x)=|1-

1

x

|，x＞0．
（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（2）是否存在实数a、b，（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]，值域是[

1

5

a，

1

5

b]，若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件可得1-

1

a

=-（1-

1

b

），即2=

1

a

+

1

b

，利用基本不等式可得

1

a

1

b

＜1，从而得到ab＞1．
（2）当1≤a＜b 时，可得f(x)=|1-

1

x

|=1-

1

x

在[a，b]上是增函数，故有 1-

1

a

=

1

5

a，1-

1

b

=

1

5

 b，解出a、b的值．
当0＜a＜b≤1时，可得f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1 在[a，b]上是减函数，故有

1

b

-1=

1

5

a，

1

a

-1=

1

5

b，解得a、b 无解．
当0＜a＜1＜b时，函数y=f（x）在定义域[a，b]上的最小值为0，根据值域是[

1

5

a，

1

5

b]，解得a、b 无解．

解答：解：（1）证明：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴

1

a

＞

1

b

＞0．
∴1-

1

a

=-（1-

1

b

），∴2=

1

a

+

1

b

＞2

1 ab

，∴

1

a

1

b

＜1，∴ab＞1．
（2）由函数y=f（x）的定义域是[a，b]，值域是[

1

5

a，

1

5

b]，
当1≤a＜b 时，可得f(x)=|1-

1

x

|=1-

1

x

在[a，b]上是增函数，故有 1-

1

a

=

1

5

a，1-

1

b

=

1

5

 b，
解得 a=

5- 5

2

，b=

5+ 5

2

．
当0＜a＜b≤1时，可得f(x)=|1-

1

x

|=

1

x

-1 在[a，b]上是减函数，故有

1

b

-1=

1

5

a，

1

a

-1=

1

5

b，
解得 a=

45 -1

2

，b=

45 -1

2

 （不合题意舍去）．
当0＜a＜1＜b时，函数y=f（x）在定义域[a，b]上的最小值为0，根据值域是[

1

5

a，

1

5

b]，
可得

a

5

=0，a=0 （不合题意舍去）．
综上，存在a=

5- 5

2

，b=

5+ 5

2

满足条件．

点评：本题主要考查求函数的定义域、值域，带绝对值的函数，体现了分类讨论的数学思想．