Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），最大值为2，函数与直线y=1的交点中，距离最近两点间的距离为$\frac{π}{3}$，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，求出φ的值，可得函数的解析式；再利用正弦函数的单调性，求出f（x）的增区间．

解答 解：因为函数的最大值为2，所以A=2，
因为由2sin（ωx+ϕ）=1，可得$ωx+φ=2kπ+\frac{π}{6}$或者$ωx+φ=2kπ+\frac{5π}{6}$，则$x=\frac{{（{2kπ+\frac{π}{6}-φ}）}}{ω}$或$x=\frac{{（{2kπ+\frac{5π}{6}-φ}）}}{ω}$，
所以距离最短为$\frac{{（{\frac{5}{6}π-\frac{π}{6}}）}}{ω}=\frac{π}{3}⇒\frac{{（{\frac{2}{3}π}）}}{ω}=\frac{π}{3}⇒ω=2$．
若$f（x）≤|{f（\frac{π}{6}）}|$对x∈R恒成立，则$|{f（\frac{π}{6}）}|=|{sin（\frac{π}{3}+φ）}|=1$，所以$\frac{π}{3}+φ=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，$φ=kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$．
由$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，（k∈Z），可知sin（π+φ）＞sin（2π+φ），即sinφ＜0，所以$ϕ=2kπ+\frac{7π}{6}，k∈Z$，
代入f（x）=sin（2x+φ），得$f（x）=sin（2x+\frac{7π}{6}），k∈Z$．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{7π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得 kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤kπ-$\frac{π}{3}$，
所以单调递增区间为$[{kπ-\frac{5}{6}π，kπ-\frac{1}{3}π}]$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，正弦函数的单调性，属于基础题．