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14.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0),最大值为2,函数与直线y=1的交点中,距离最近两点间的距离为$\frac{π}{3}$,若f(x)≤|f($\frac{π}{6}$)|对x∈R恒成立,且$f(\frac{π}{2})>f(π)$,求f(x)的单调递增区间.

分析 由函数的最大值求出A,由周期求出ω,由f(x)≤|f($\frac{π}{6}$)|对x∈R恒成立,且$f(\frac{π}{2})>f(π)$,求出φ的值,可得函数的解析式;再利用正弦函数的单调性,求出f(x)的增区间.

解答 解:因为函数的最大值为2,所以A=2,
因为由2sin(ωx+ϕ)=1,可得$ωx+φ=2kπ+\frac{π}{6}$或者$ωx+φ=2kπ+\frac{5π}{6}$,则$x=\frac{{({2kπ+\frac{π}{6}-φ})}}{ω}$或$x=\frac{{({2kπ+\frac{5π}{6}-φ})}}{ω}$,
所以距离最短为$\frac{{({\frac{5}{6}π-\frac{π}{6}})}}{ω}=\frac{π}{3}⇒\frac{{({\frac{2}{3}π})}}{ω}=\frac{π}{3}⇒ω=2$.
若$f(x)≤|{f(\frac{π}{6})}|$对x∈R恒成立,则$|{f(\frac{π}{6})}|=|{sin(\frac{π}{3}+φ)}|=1$,所以$\frac{π}{3}+φ=kπ+\frac{π}{2},k∈Z$,$φ=kπ+\frac{π}{6},k∈Z$.
由$f(\frac{π}{2})>f(π)$,(k∈Z),可知sin(π+φ)>sin(2π+φ),即sinφ<0,所以$ϕ=2kπ+\frac{7π}{6},k∈Z$,
代入f(x)=sin(2x+φ),得$f(x)=sin(2x+\frac{7π}{6}),k∈Z$.
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{7π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,求得 kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤kπ-$\frac{π}{3}$,
所以单调递增区间为$[{kπ-\frac{5}{6}π,kπ-\frac{1}{3}π}]$.

点评 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,正弦函数的单调性,属于基础题.

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