Question

（12分）已知圆及定点，点Q是圆A上的动点，点G在BQ上，点P在QA上，且满足，=0．
（I）求P点所在的曲线C的方程；
(II)过点B的直线与曲线C交于M、N两点，直线与y轴交于E点，若为定值。

Answer 1

（I）+y²=1；（ⅡI）见解析．

（1）由，=0得垂直平分线段，
即，所以，根据椭圆的定义得曲线C的方程；
（2）利用点M、N在椭圆上，，可得到，
．，是方程的两个根，∴ ．
也可以设出直线  的方程，与椭圆  的方程联立，求出，．由，可得到，整理
∵，=0∴垂直平分线段，
即，所以，由椭圆定义：
曲线C的方程为+y²=1            5分
（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，
又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
∵，∴．
∴ ，．       7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得．           10分
同理，由可得：．
∴ ，是方程的两个根，
∴ ．                 12分
（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．
显然直线  的斜率存在，设直线  的斜率为 ，则直线  的方程是 ．
将直线  的方程代入到椭圆  的方程中，消去  并整理得
．  8分
∴ ，．
又 ∵，
则．∴，
同理，由，∴．             10分
∴．  12分