Question

若P是以F₁，F₂为焦点的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一点，且

PF1

•

PF2

=0，tan∠PF1F2=

1

2

，则此椭圆的离心率为（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  2

  3

• C．

  1

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：根据向量

PF1

、

PF1

的数量积为零，可得△PF₁F₂是P为直角顶点的直角三角形．Rt△PF₁F₂中，根据正切的定义及tan∠PF1F2=

1

2

，可设PF₂=t，PF₁=2t，由勾股定理，得出F1F2=

5

t=2c．利用椭圆的定义得到2a=PF₁+PF₂=3t，最后由椭圆离心率的定义可得此椭圆的离心率．

解答：解：∵

PF1

•

PF2

=0
∴

PF1

⊥

PF2

，即△PF₁F₂是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF₁F₂中，tan∠PF1F2=

1

2

，
∴

PF2

PF1

=

1

2

，设PF₂=t，则PF₁=2t
∴F1F2=

PF12+PF22

=

5

t=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF₁+PF₂=3t
∴此椭圆的离心率为e=

c

a

=

2c

2a

=

5 t

3t

=

5

3

故选A

点评：本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．