Question

已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(

1

3

)=log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知：令x=y=0，则
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函数f（x）为奇函数，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函数为单调函数，且f(

1

3

)=

log

32

＞f（0）=0，∴函数在[-1，1]上为增函数，
所以

-1≤1-m≤1 -1≤2m-1≤1 1-m＜2m-1

，
解得：

2

3

＜m≤1
∴m的取值范围为：

2

3

＜m≤1．