Question

15．函数f（x）=x+a|x-1|在（0，+∞）上有最大值，则实数a的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 结合绝对值的含义，对a讨论，分a=0，a＞0①a=1，a＞1，0＜a＜1，a＜0，①a=-1，②a＜-1，③-1＜a＜0，通过x与1的关系，去掉绝对值，结合一次函数的单调性，即可判断是否存在最大值，进而求得a的范围．

解答 解：当a=0时，f（x）=x在（0，+∞）上递增，无最大值；
当a＞0时，①x＞1时，f（x）=（1+a）x-a在（0，+∞）上递增，
②0＜x＜1时，f（x）=a+（1-a）x，当0＜a＜1时，f（x）递增，无最大值；
当a=1时，f（x）=x+|x-1|在（0，+∞）上单调递增，有最小值1，无最大值；
当a＞1时，f（x）=a+（1-a）x在0＜x＜1递减，
f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1），无最大值；
当a＜0时，①若-1＜a＜0时，f（x）在x＞1上递增，在0＜x＜1上递增，无最大值；
②若a=-1时，f（x）=x-|x-1|，当x≥1时，f（x）=1，
当0＜x＜1时，f（x）=2x-1∈（-1，1），
即f（x）存在最大值；
③当a＜-1时，当x＞1时，f（x）=（1+a）x-1递减；
当0＜x＜1时，f（x）=a-（1-a）x递增，
即有x=1处取得最大值，且为1．
综上可得a的范围是（-∞，-1]．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．