Question

16．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
（1）求证：AP⊥BC；
（2）若点M是线段AP是哪个一点，且AM=3．试证明平面AMC⊥平面BMC．

Answer 1

分析 （1）根据题意，建立如图所示的空间坐标系，利用坐标表示出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BC}$，证明$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$即可；
（2）根据M为AP上一点，且AM=3，求出点M的坐标，再求出平面BMC与平面AMC的法向量，
利用法向量证明平面AMC⊥平面BMC．

解答 解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
如图所示；
则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（1）$\overrightarrow{AP}$=（0，3，4），$\overrightarrow{BC}$=（-8，0，0），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=0×（-8）+3×0+4×0=0，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即AP⊥BC；
（2）∵M为AP上一点，且AM=3，
∴M（0，-$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-4，-$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
$\overrightarrow{CM}$=（4，-$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
设平面BMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-4a-\frac{16}{5}b+\frac{12}{5}c=0}\\{4a-\frac{16}{5}b+\frac{12}{5}c=0}\end{array}\right.$，
令b=1，则$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{4}{3}$）；
设平面AMC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{5}y+\frac{12}{5}z=0}\\{4x-\frac{16}{5}y+\frac{12}{5}z=0}\end{array}\right.$，
令x=5，
则$\overrightarrow{m}$=（5，4，-3）；
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=0×5+1×4+$\frac{4}{3}$×（-3）=0，
得$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{m}$；即平面AMC⊥平面BMC．

点评 本题考查了线线垂直与面面垂直的判定与应用问题，解题时可以建立空间坐标系，把垂直问题转化为向量垂直即数量积为0来解答，是综合性题目．