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    已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，．
    （1）求证：数列Sn是等比数列；
    （2）设an与an+2的等差中项为A，比较A与an+1的大小；
    （3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列bn：当k=m+1，m+2，…，2m时，bk=ak•ak+1；当k=1，2，…，m时，bk=b2m-k+1．求数列bn的前n项和为Tn（n≤2m，n∈N*）．
    【答案】分析：（1）直接利用an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）代入整理可得Sn2=Sn-1Sn+1再检验前两项是否成立即可证明结论．
    （2）先由（1）的结论结合an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）求出数列的通项；在让A与an+1作差，利用Sn恒为正值对a进行讨论即可比较大小；
    （3）由条件可得当m+1≤k≤2m时，bk=ak•ak+1=22k-3．然后分n≤m以及m+1≤n≤2m两种情况转化后直接代入等比数列的求和公式即可．
    解答：解：（1）当n≥3时，，
    化简得Sn2=Sn-1Sn+1（n≥3），又由a1=1，a2=a-1得，
    解得a3=a（a-1），∴S1=1，S2=a，S3=a2，也满足Sn2=Sn-1Sn+1，而Sn恒为正值，
    ∴数列{Sn}是等比数列．（4分）
    （2）Sn的首项为1，公比为a，Sn=an-1．
    当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（a-1）an-2，
    ∴an=
    当n=1时，，此时A＞an+1．（6分）
    当n≥2时，=．
    ∵Sn恒为正值∴a＞0且a≠1，
    若0＜a＜1，则A-an+1＜0，若a＞1，则A-an+1＞0．
    综上可得，当n=1时，A＞an+1；
    当n≥2时，若0＜a＜1，则A＜an+1，
    若a＞1，则A＞an+1．（10分）
    （3）∵a=2∴an=，当m+1≤k≤2m时，bk=ak•ak+1=22k-3．
    若n≤m，n∈N*，则由题设得b1=b2m，b2=b2m-1，bn=b2m-n+1
    Tn=b1+b2+…+bn=b2m+b2m-1+…+b2m-n+1
    =．（13分）
    若m+1≤n≤2m，n∈N*，则Tn=bm+bm+1+bm+2+…+bn=

    ==．
    综上得Tn=．（16分）
    点评：本题第二问考查了已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式，根据an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：an=Sn-Sn-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．
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    12
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