Question

设函数y=f（k）是定义在N^*上的增函数，且f（f（k））=3k，则f（1）+f（9）+f（10）=

 

．

Answer 1

考点：函数的值,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：f（f（k））=3k，取k=1，得f（f（1））=3，由已知条件推导出f（1）=2，f（2）=3，由此能求出f（1）+f（9）+f（10）的值．

解答： 解：∵f（f（k））=3k，∴取k=1，得f（f（1））=3，
假设f（1）=1时，有f（f（1））=f（1）=1矛盾，
假设f（1）≥3，因为函数是正整数集上的增函数，
得f（f（1））≥f（3）＞f（1）≥3矛盾，
由以上的分析可得：f（1）=2，代入f（f（1））=3，得f（2）=3，
可得f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
由f（f（k））=3k，取k=4和5，得f（f（4））=12，f（f（5））=15，
∵在f（6）和f（9）之间只有f（7）和f（8），且f（4）＜f（5），
∴f（4）=7，f（7）=12，f（8）=15，f（5）=8，
∴f（12）=f（f（7））=3×7=21，
∵f（10）=19，f（11）=20．
∴f（1）+f（9）+f（10）=2+18+19=39．
故答案为：39．

点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．