Question

已知函数f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断．

解答：解析：（1）由题意f′(x)=

x-a

x2

．         …（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＞0，则x∈（a，+∞），f'（x）＜0，则x∈（0，a），
此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，…（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），f'（x）＞0，则x∈（a，0），f'（x）＜0，则x∈（-∞，a），
此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数．…（5分）
（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点T(x0，lnx0-

x0-1

x0

)，
∴切线方程：y+1=

x0-1

x 2 0

(x-1)，将点T坐标代入得：
lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x 2 0

，即lnx0+

3

x0

-

1

x 2 0

-1=0，①
设g(x)=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

．
令g'（x）=0，则x=1或x=2．…（8分）

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值g(2)=ln2+

1

4

，
所以g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．
因为g(

1

4

)=ln

1

4

+12-16-1=-ln4-3＜0，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，
根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力．