Question

一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（　　）

A、20

B、2¹⁹

C、2²⁰

D、2²⁰-1

Answer 1

分析：本题是分类计数问题，因为每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，20只灯泡有一只不亮，20只灯泡有二只不亮，以此类推，20只灯泡有20只不亮，把所有的结果相加．

解答：解：由题意知，本题需要分类来解，
∵每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，
∴20只灯泡有一只不亮，有C₂₀¹种结果，
20只灯泡有二只不亮，有C₂₀²种结果，
…
20只灯泡有20只不亮，有C₂₀²⁰种结果，
∴根据分类计数原理知有C₂₀¹+C₂₀²+…+C₂₀²⁰=2²⁰-1．
故选D

点评：本题考查分类计数问题，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的是什么，可以分类还是需要分步．