【题目】已知椭圆的右焦点为
,右顶点为
,离心离为
,点
满足条件
.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)设过点的直线
与椭圆
相交于
、
两点,记
和
的面积分别为
、
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)解:因为椭圆C的方程为,根据椭圆的性质和数据建立方程即可求出结果;
(Ⅱ)若直线l的斜率不存在, 则有,
,符合题意.
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为,
,
.
由得
,可知
恒成立,且
,
. 因为
,所以
.
因为和
的面积分别为
,
, 即可得证.
试题解析:(Ⅰ)解:因为椭圆C的方程为,
所以,
,
, 2分
则,
,
. 3分
因为,
所以. 5分
(Ⅱ)解:若直线l的斜率不存在, 则有,
,符合题意. 6分
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为,
,
.
由
得, 7分
可知恒成立,且
,
. 8分
因为10分
,
所以. 12分
因为和
的面积分别为
,
, 13分
所以. 14分.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直角坐标系中,椭圆
:
的上焦点为
,椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆的上顶点
的直线
与椭圆
交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若对任意,
有唯一确定的
与之对应,则称
为关于
,
的二元函数,现定义满足下列性质的
为关于实数
,
的广义“距离”.
()非负性:
,当且仅当
时取等号;
()对称性:
;
()三角形不等式:
对任意的实数
均成立.
给出三个二元函数:①;②
;③
,
则所有能够成为关于,
的广义“距离”的序号为__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其中
,
.
(Ⅰ)当时,
的零点为______;(将结果直接填写在横线上)
(Ⅱ)当时,如果存在
,使得
,试求
的取值范围;
(Ⅲ)如果对于任意,都有
成立,试求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知四棱锥的底面的菱形,
,点E是BC边的中点,AC和DE交于点O,PO
;
(1)求证: ;
(2) 求二面角P-AD-C的大小。
(3)在(2)的条件下,求异面直线PB与DE所成角的余弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2017年“双11”前夕,某市场机构随机对中国公民进行问卷调查,用于调研“双11”民众购物意愿和购物预计支出状况. 分类统计后,从有购物意愿的人中随机抽取100人作为样本,将他(她)们按照购物预计支出(单位:千元)分成8组: [0, 2),[2, 4),[4, 6),…,[14, 16],并绘制成如图所示的频率分布直方图,其中,样本中购物预计支出不低于1万元的人数为a.
(Ⅰ) (i)求a的值,并估算这100人购物预计支出的平均值;
(ii)以样本估计总体,在有购物意愿的人群中,若至少有65%的人购物预计支出不低于x千元,求x的最大值.
(Ⅱ) 如果参与本次问卷调查的总人数为t,问卷调查得到下列信息:
①参与问卷调查的男女人数之比为2:3;
②男士无购物意愿和有购物意愿的人数之比是1:3,女士无购物意愿和有购物意愿的人数之比为1:4;
③能以90%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”,但不能以95%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”.
根据以上数据信息,求t所有可能取值组成的集合M.
附: ,其中
.
独立检验临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有m个()实数
,它们满足下列条件:①
,
②记这m个实数
的和为
,
即.
(1)若,证明:
;
(2)若m=5,满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列
构成的集合.集合
,求A中所有正数之和;
(3)对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与
,证明:
.
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