Question

已知函数f(x)=x³+ax-1(a∈R),其中f′(x)是f(x)的导函数.

(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y+1=0平行,求a的值;

(2)设g(x)=f′(x)-ax-4,若对一切|a|≤1,都有g(x)＜0恒成立,求x的取值范围;

(3)设a=-p²时,若函数f(x)的图象与直线y=2只有一个公共点,求实数p的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=4x²+a,f′(1)=4+a=2,

所以a=-2.

(2)g(x)=f′(x)-ax-4=4x²-ax+a-4,

令φ(a)=(1-x)a+4x²-4,因为对一切|a|≤1,都有g(x)＜0恒成立等价于对一切|a|≤1,都有φ(a)＜0恒成立,所以即解得＜x＜1.

则当x∈(,1)时,对一切|a|≤1,都有g(x)＜0恒成立.

(3)当a=-p²时,f′(x)=4x²-p².

①当p=0时,f(x)=x³-1在(-∞,+∞)上单调递增,

所以函数f(x)的图象与直线y=2有一个公共点.

②当p≠0时,f′(x)=(2x+|p|)(2x-|p|).

令f′(x)=0,得x=±.

所以当x∈(-∞,),x∈(,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,

当x∈(-,)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.

因此f(x)的极小值f()=()³+(-p)²-1=-p²|p|-1＜-1.

又f(x)的值域为R,当x∈(,+∞)时,f(x)单调递增,则一定与直线y=2有交点,

因此只要f(＜2即可.

而f()=()³-p²()-1=|p|³-1＜2.

解得＜p＜,且p≠0.

综上①②可得实数p的取值范围是＜p＜.