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    （本题满分14分）设,函数．

    （Ⅰ）证明:存在唯一实数，使；

    （Ⅱ）定义数列:,,．

    （i）求证:对任意正整数n都有；

    (ii) 当时, 若，

    证明:当k时，对任意都有:

     

    【答案】

    （Ⅰ）证明：略

     

    【解析】（Ⅰ）证明: ①.       ………1分

    令,则,,

    ∴.                               ………………………………… 2分

    又,∴是R上的增函数.    …………………… 3分

    故在区间上有唯一零点,

    即存在唯一实数使.           ………………………………… 4分

    ②当时, ,,由①知,即成立；…… 5分

    设当时, ,注意到在上是减函数,且,

    故有:,即

    ∴,                    ………………………………… 7分

    即.这就是说,时,结论也成立.

    故对任意正整数都有:.            ………………………………… 8分

    (2)当时,由得:,     ……………… 9分

    ………10分

    当时,,

    ∴

        ………………………………… 12分

    对,

        ………………………………… 13分

        ………………… 14分

     

     

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    设函数.

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    （2）若，试确定的单调性；

    （3）记，且在上的最大值为M，证明：．

     

     

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