Question

设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程．

Answer 1

分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为

2

r，
截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x-2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．

解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为

2

r，故r²=2b²，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
r²=a²+1．
从而得2b²-a²=1．
又点P（a，b）到直线x-2y=0的距离为d=

|a-2b|

5

，
所以5d²=|a-2b|²
=a²+4b²-4ab
≥a²+4b²-2（a²+b²）
=2b²-a²=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1，从而d取得最小值．
由此有

a=b 2b2-a2=1

解此方程组得

a=1 b=1

或

a=-1 b=-1.

由于r²=2b²知r=

2

．
于是，所求圆的方程是
（x-1）²+（y-1）²=2，或（x+1）²+（y+1）²=2．
解法二：同解法一，得d=

|a-2b|

5

∴a-2b=±

5

d
得a2=4b2±4

5

bd+5d2①
将a²=2b²-1代入①式，整理得2b2±4

5

db+5d2+1=0②
把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
△=8（5d²-1）≥0，
得5d²≥1．
∴5d²有最小值1，从而d有最小值

5

5

．
将其代入②式得2b²±4b+2=0．解得b=±1．
将b=±1代入r²=2b²，得r²=2．由r²=a²+1得a=±1．
综上a=±1，b=±1，r²=2．
由|a-2b|=1知a，b同号．
于是，所求圆的方程是
（x-1）²+（y-1）²=2，或（x+1）²+（y+1）²=2．

点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，
P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．