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(本小题10分)如图,已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,

(1)求证:AC⊥BF;

(2)求点A到平面FBD的距离. 

 

【答案】

 (1)见解析(2)

【解析】本题考查异面直线垂直的证明、点到平面的距离.解题时要认真审题,仔细解答,注意向量法的合理运用.

(1)在△ACD中,由题设条件推导出CD⊥CA,由ABCD是平行四边形,知CA⊥AB,由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF.

(2)求出向量AD和平面FBD的法向量,用向量法能够求出点A到平面FBD的距离.

解法1:由,故AD2=AC2+CD2,,,所以CD⊥CA

以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系,  

                           

   (1)C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0),

,, ,

   (2),

,可得,

点A到平面FBD的距离为d,

解法2 :(1)由,故BC2=AC2+AB2,,,所以AC⊥AB 

因为ACEF是矩形,AC⊥AF,所以AC⊥平面ABF,故AC⊥BF

(2)由,得

 

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