Question

已知．
（1）当时，求上的值域；
（2）求函数在上的最小值；
（3）证明: 对一切，都有成立

Answer 1

(1) 值域为；（2）；（3）证明如下.

试题分析：（1）对称轴为，开口向上，.
（2），可知在单调递减，在单调递增.因为，故要分三种情况讨论，即①，t无解； ②，即时，；   ③，即时，在上单调递增，；
所以.
(3) 设，要使在恒成立，即.由（2）可求，再利用导数求.
试题解析：
（1）∵=, x∈[0,3]
当时，；当时，，故值域为
（2），当，，单调递减，
当，，单调递增．
①，t无解；
②，即时，；
③，即时，在上单调递增，；
所以．
（3） ，所以问题等价于证明，由（2）可知的最小值是，当且仅当时取到；
设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立.