分析 首先根据双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x和右准线方程,得到右准线交两渐近线于A($\frac{{a}^{2}}{c}$,$\frac{ab}{c}$),B($\frac{{a}^{2}}{c}$,-$\frac{ab}{c}$),从而AB=$\frac{2ab}{c}$,再根据以AB为直径的圆过右焦点F,得到焦点到右准线的距离等于AB的一半,建立关于a、b、c的等式,化简整理可得a=b,最后根据离心率的计算公式,可求出该双曲线的离心率.
解答 解:∵双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,
∴双曲线的两渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x,
因此,可得右准线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交两渐近线于A($\frac{{a}^{2}}{c}$,$\frac{ab}{c}$),B($\frac{{a}^{2}}{c}$,-$\frac{ab}{c}$),
设右准线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交x轴于点G($\frac{{a}^{2}}{c}$,0),
∵以AB为直径的圆过F,
∴AB=2GF,即$\frac{2ab}{c}$=2(c-$\frac{{a}^{2}}{c}$),化简得a=b,
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$.
故答案为:$\sqrt{2}$.
点评 本题给出双曲线的右准线与两渐近线交于A,B两点,且以AB为直径的圆过右焦点F,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的基本概念与简单几何性质,属于基础题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 60° | B. | 30° | C. | 150° | D. | 120° |
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A. | log0.44<log0.46 | B. | 1.013.4>1.013.5 | C. | 3.50.3>3.40.3 | D. | log56<log67 |
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