Question

17．已知直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过双曲线右焦点F（c，0），则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先根据双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x和右准线方程，得到右准线交两渐近线于A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），从而AB=$\frac{2ab}{c}$，再根据以AB为直径的圆过右焦点F，得到焦点到右准线的距离等于AB的一半，建立关于a、b、c的等式，化简整理可得a=b，最后根据离心率的计算公式，可求出该双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴双曲线的两渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
因此，可得右准线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交两渐近线于A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
设右准线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交x轴于点G（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），
∵以AB为直径的圆过F，
∴AB=2GF，即$\frac{2ab}{c}$=2（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$），化简得a=b，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题给出双曲线的右准线与两渐近线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过右焦点F，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本概念与简单几何性质，属于基础题．