Question

实数a∈[-1，1]，b∈[0，2]．设函数f(x)=-

1

3

x3+

1

2

ax2+bx的两个极值点为x₁，x₂，现向点（a，b）所在平面区域投掷一个飞镖，则飞镖恰好落入使x₁≤-1且x₂≥1的区域的概率为  （　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  1

  5

Answer 1

分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出函数f(x)=-

1

3

x3+

1

2

ax2+bx的两个极值点为x₁，x₂，使满足x₁≤-1且x₂≥1的可行域面积的大小和实数a，b满足a∈[-1，1]，b∈[0，2]对应的图形面积的大小．

解答：解：∵f(x)=-

1

3

x3+

1

2

ax2+bx
∴f'（x）=-x²+ax+b的两个零点为x₁，x₂，
∵x₁≤-1且x₂≥1
∴

f′(-1)=-1-a+b≥0 f′(1)=-1+a+b≥0

在条件实数a∈[-1，1]，b∈[0，2]下画出满足上面不等式的图形如右图中阴影部分．
其面积为1，a∈[-1，1]，b∈[0，2]围成图形的面积为4
∴现向点（a，b）所在平面区域投掷一个飞镖，则飞镖恰好落入使x₁≤-1且x₂≥1的区域的概率为 

1

4

故选C．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和几何概型的概率，同时考查了画图的能力，属于中档题．