Question

已知点P(

3

2

，1)在椭圆Q：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上，且该椭圆的离心率为

1

2

．
（1）求椭圆Q的方程；
（2）若直线l与直线AB：y=-4的夹角的正切值为2，且椭圆Q上的动点M到直线l的距离的最小值为

5

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）依据椭圆的标准方程形式、椭圆的性质，利用待定系数法求方程．
（2）先确定直线的斜率，设出直线在y轴上的截距m，得到直线的方程，设出点M的坐标（参数式），利用点到直线的距离的最小值，求出m的值，从而得到直线方程．

解答：解：（1）依题意得：

e= c a = 1 2 a2=b2+c2 1 a2 + 9 4 b2 =1

．（2分）
解之得：a=2，c=1，b=

3

．
∴椭圆Q方程为：

y2

4

+

x2

3

=1．（4分）
（2）由已知可得，直线l的斜率为k=±2，（6分）
①若k=2，设l的方程是2x-y+m=0，
点M的坐标为(

3

cosθ，2sinθ)θ∈[0，2π）
则点M到直线l的距离为d=

|2 3 cosθ-2sinθ+m|

22+1

=

|m-4sin(θ- π 3 )|

5

，（8分）
若m＞0，则dmin=

|m-4|

5

=

5

，得m=9
若m＜0，则dmin=

|m+4|

5

=

5

，得m=-9
所以所求直线l的方程是2x-y+9=0或2x-y-9=0．（12分）
②若k=-2，类似①可得所以所求直线l的方程是2x+y+9=0或2x+y-9=0．（14分）
综上所述，l的方程为2x-y+9=0或2x-y-9=0或2x+y+9=0或2x+y-9=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程、点到直线的距离公式来解决最值问题，体现了分类讨论的数学思想．