Question

已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）和（1，0），点A、P、Q运动时满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设M、N是C上两点，若，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，可知PQ为AF的垂直平分线即，由可得P为AF的垂直平分线与AE的交点，则有|PE|+|PF|=|PE|+|PA|=|AE|=2|EF|=4，由椭圆的定义可知P的轨迹为椭圆，且2a=4，c=1，由b²=a²-c²可求b，进而可求点P的轨迹方程
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则，，由可得x₁+2x₂=-3，y₁+2y₂=0，联立方程可求x₂，y₂，直线MN的斜率k===可求，进而可求直线方程
解答：解：（1）∵
∴Q为AF的中点
又∵
∴PQ⊥AF
∴PQ为AF的垂直平分线
∴
∵
∴A、E、P三点共线
∴P为AF的垂直平分线与AE的交点
∴|PE|+|PF|=|PE|+|PA|=|AE|=2|EF|=4
∴P的轨迹为椭圆，且2a=4，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴点P的轨迹方程为（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则，（7分）
∵
∴x₁+2x₂=-3，y₁+2y₂=0（8分）
即
∴
③代入①可得27+36⑤
⑤-②×4可得，
把代入②可得（10分）
直线MN与x轴显然不垂直
∴所求的直线MN的斜率k====（12分）
∴所求的直线MN的方程为y=（13分）
点评：本题主要考察了利用椭圆的定期求解椭圆的方程，直线与椭圆相交关系的应用，解题的难点在于基本运算及逻辑推理．