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平面向量 $数学公式$ ，若存在不同时为0的实数k和t，使 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，试确定函数k=f（t）的单调区间．

解：由 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ ．
再由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ =0．
故有-4k+t³-3t=0，k= $\text{[math]}$ （t³-3t ），故 f（t）= $\text{[math]}$ （t³-3t ）．
由 f′（t）= $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ ＞0，解得 t＜-1，或 t＞1．
令f′（t）= $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ ＜0，解得-1＜t＜1．
所以f（t）的增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）；减区间为（-1，1）．
分析：利用两个向量垂直的性质可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，化简求得 k= $\text{[math]}$ （t³-3t ），
故 f（t）= $\text{[math]}$ （t³-3t ），利用导数求函数f（t）的单调区间．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．

练习册系列答案

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（2013•天河区三模）设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量

=(x+

，my)，向量

=(x-

，y)，

⊥

，动点M（x，y）的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（II）已知m=

，F（0，-1），直线l：y=kx+1与曲线E交于不同的两点M、N，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的实数k的值；若不存在，请说明理由．

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•

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为

=（a，1）的直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；
（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y₀），求y₀的取值范围．

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定义：对于映射f：A→B，如果A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射．如果存在对应关系φ，使A到B成为一一映射，则称A和B具有相同的势．给出下列命题：
①A={奇数}，B={偶数}，则A和B 具有相同的势；
②A是直角坐标系平面内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B 不具有相同的势；
③若A={

，

}，其中

，

是不共线向量，B={

与

，

共面的任意向量}，则A和B不可能具有相同的势；
④若区间A=（-1，1），B=（-∞，+∞），则A和B具有相同的势．
其中真命题为

①③④

．

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在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为M，过点P（0，2）的斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A、B．