Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、BC的中点，
（Ⅰ）求证：EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）求证：B₁D⊥平面A₁C₁B．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，则AC∥EF，
∵AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁，
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，∴A₁C₁∥AC
∴EF∥A₁C₁，∴EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）连接B₁D₁，则B₁D₁⊥A₁C₁．
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴DD₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥平面DD₁B₁，∴A₁C₁⊥B₁D
同理可证，A₁B⊥B₁D，∴B₁D⊥平面A₁C₁B．
分析：（Ⅰ）先连接AC，根据中位线定理得到AC∥EF，再由A₁C₁∥AC可得到EF∥A₁C₁，最后根据线面平行的判定定理可证．
（Ⅱ）连接B₁D₁，可得到B₁D₁⊥A₁C₁，再由DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，从而可得到DD₁⊥A₁C₁，即可证明A₁C₁⊥平面DD₁B₁，即可证出A₁C₁⊥B₁D，同理可得到A₁B⊥B₁D，最后根据线面垂直的判定定理可得证．
点评：本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直定理．考查考生的空间想象能力和对定理的应用能力．