Question

18．椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1有公共的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{3}$，求得|PF₁|和|PF₂|的值，根据|F₁F₂|=4，利用余弦定理可得cos∠F₁PF₂的值．

解答 解：由题意可得焦点F₁（2，0）、F₂（-2，0），∴3+b²=4，求得b²=1，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
不妨设点P在第一象限，
再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{6}$，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{3}$，
可得|PF₁|=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$，|PF₂|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，且|F₁F₂|=4．
再由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=$\frac{{{PF}_{1}}^{2}{+{PF}_{2}}^{2}{{{-F}_{1}F}_{2}}^{2}}{2{PF}_{1}•{PF}_{2}}$=$\frac{{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）}^{2}{+（\sqrt{6}-\sqrt{3}）}^{2}{-4}^{2}}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）•（\sqrt{6}-\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．