Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

Answer 1

1）2
（2）证明：由于底面是矩形，故,又由于，
因此平面PDC,而平面，所以平面平面.
（3）

(1)找出线面角是求解的关键，因为,所以可知为异面直线与所成的角.
如图，

在四棱锥中，因为底面是矩形，
所以且,又因为,故为异面直线与所成的角.
在中，,
所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)证明平面PDC即可.
（3）在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB.因为平面平面,故平面，由此得为直线PB与平面所成的角.余下的问题是解三角形求角.
在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB.
由于平面平面，而直线CD是平面与平面的交线，
故平面，由此得为直线PB与平面所成的角.
在中，由于可得.
在中，，
由平面，得平面，
因此,在中，.
在中，
所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为.