Question

【题目】在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2 的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．

（1）证明：AC⊥SB；
（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB．

因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，

因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．

又SB平面SDB，所以AC⊥SB

（2）解：因为AC⊥平面SDB，AC平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．

过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，

因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．

又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．

由于SN=NB，所以NE= SD=

所以S△CMB= CMBM=

所以VB﹣CMN=VN﹣CMB= S△CMBNE= =

【解析】（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB；（2）由VB﹣CMN=VN﹣CMB ， 即可求得三棱锥B﹣CMN的体积．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．