Question

如图所示，将一个长为8m，宽为5m的长方形剪去四个相同的边长为xm的正方形，然后再将所得图形围成一个无盖长方体，试求x为多少时，长方体的体积最大？最大体积为多少？

Answer 1

解：根据题意边长为xm的正方形，容器的体积为f（x），
则有V=f（x）=（8-2x）（5-2x）x=4x³-26x²+40x，（0＜x＜2.5）
求导可得到：V′=12x²-52x²+40，
由V′=12x²-52x²+40=0得x₁=1，x₂=（舍去）．
所以当x＜1时，V′＞0，
当1＜x＜时，V′＜0，
当x＞时，V′＞0，
所以，当x=1，V有极大值f（1）=18，又f（0）=0，f（2.5）=0，
所以当x=1，V有最大值f（1）=18．
分析：首先分析题目求长为8m，宽为5m的长方形铁皮做一个无盖长方体，当长方体的高为多少时，容积最大．故可根据边长为xm的正方形，求出长方体的体积f（x）关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．
点评：此题主要考查用代数式表示正方形、矩形的面积和体积、考查函数求最值在实际问题中的应用，其中涉及到由导函数分类讨论单调性的思想，在高考中属于重点考点，同学们需要理解并记忆．