Question

19．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x₁＜x₂时，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，设p：“f（m²+3）+f（12-8m）＜0”．
（1）若p为真，求实数m的取值范围；
（2）设q：集合A={x|（x+1）（4-x）≤0}与集合B={x|x＜m}的交集为{x|x≤-1}，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质可得f（m²+3）＜f（8m-12），再根据f（x）单调递增可得m²+3＜8m-12，由此求得实数m的取值范围．
（2）先求出A，分p真q假、p假q真分别求得m的范围，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，
∵当x₁＜x₂时，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，∴函数f（x）为R上的增函数．
∵f（m²+3）+f（12-8m）＜0，∴f（m²+3）＜-f（12-8m）=f（8m-12），∴m²+3＜8m-12，
若p为真，则m²-8m+15＜0，解得3＜m＜5．
（2）A={x|x≤-1或x≥4}，若q为真，则-1＜m≤4．
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p、q一真一假．
若p真q假，则4＜m＜5；若p假q真，则-1＜m≤3．
综上，实数m的取值范围是（-1，3]∪（4，5）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，复合命题的真假，属于中档题．