Question

已知f（x）=a^x+a^-x，证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，f（x）=a^x+a^-x=

a2x+1

ax

，f（x₂）-f（x₁）=

(ax1ax2-1)(ax2-ax1)

ax2ax1

．由此能证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答： 证明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵f（x）=a^x+a^-x=

a2x+1

ax

，
∴f（x₂）-f（x₁）=

a2x2+1

ax2

-

a2x1+1

ax1

=

a2x2•ax1+ax1-a2x1 ax2-ax2

ax2•ax1

=

(ax1ax2-1)(ax2-ax1)

ax2ax1

．
当a＞1时，ax2ax1＞1，ax2＞a x1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当0＜a＜1时，0＜ax2ax1＜1，ax2＜a x1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数是增函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．