Question

某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出件，（n∈N^*）．
（1）试写出销售量s与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

Answer 1

【答案】分析：对于（1）中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为s_n，则s_n-1表示广告费为（n-1）元时的销量，由题意，s_n--s_n-1=，可知数列{s_n}不成等差也不成等比数列，但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s=b++++…+=b（2-）
解法二、利用累差叠加法：，，…，累加结合等比数列的求和公式可求S_n
（2））b=4000时，s=4000（2-），设获利为T_n，则有T_n=s•10-1000n=40000（2-）-1000n，
欲使T_n最大，根据数列的单调性可得，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求S的最大值
解答：（1）解法一、直接列式：由题，s=b++++…+=b（2-）（广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b++；…n千元时s=b++++…+）
解法二、（累差叠加法）设s表示广告费为0千元时的销售量，
由题：，相加得S_n-S=+++…+，
即S_n=b++++…+=b（2-）．
（2）b=4000时，s=4000（2-），设获利为t，则有t=s•10-1000n=40000（2-）-1000n
欲使T_n最大，则，得，故n=5，此时s=7875．
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．
点评：本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．