Question

【题目】为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过分钟还车的概率分别为，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲乙丙均租用型车，丁租用型车．

（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；

（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；

（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布和数学期望．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”， 即4人均不超过30分钟。

（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10 ，其余2人付5，分3种情况。用相互独立事件同时发生概率公式与互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根据分类可知随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。

（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件，即4人均不超过30分钟，

则 .

答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是

（2）由题意，甲乙丙丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，

设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件，

则

答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是．

（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量的值为25，即为事件，由（1）所以.

②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为

事件和.

i.事件对应的的值为30，此时；

ii.事件对应的的值为35，此时.

③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.

i.事件对应的的值为35，此时；

i.事件对应的的值为40，此时

④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.

i.事件对应的的值为40，此时；

i.事件对应的的值为45，此时 .

⑤记“4人均超过30分钟”为事件，则随机变量的值为50，

此时 ；

综上：随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50，且

；；

；

；

；；

所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为

	25	30	35	40	45	50

所以 .

答：甲乙丙丁四人所付费用之和的数学期望为.