Question

19．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有a_ib_j=a_kb_l，记c_n=$\root{n}{（{a}_{1}+{b}_{1}）（{a}_{2}+{b}_{2}）（{a}_{3}+{b}_{3}）…（{a}_{n}+{b}_{n}）}$，则数列{c_n}的通项公式是$3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$．

Answer 1

分析 由已知得a₂b_n=a₁b_n+1，a_n+1b₁=a_nb₂，从而求出a_n+b_n=3×2^n-1，由此能求出数列{c_n}的通项公式．

解答 解：∵数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=2，b₁=2，
且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有a_ib_j=a_kb_l，
∴a₂b_n=a₁b_n+1，整理，得：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴b_n=2ⁿ．∴b₂=4，
又a_n+1b₁=a_nb₂，整理，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=2，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a_n=2^n-1．
∴a_n+b_n=3×2^n-1，
∴c_n=$\root{n}{（{a}_{1}+{b}_{1}）（{a}_{2}+{b}_{2}）（{a}_{3}+{b}_{3}）…（{a}_{n}+{b}_{n}）}$
=$\root{n}{{3}^{n}•[{2}^{0+1+2+3+…+（n-1）}]}$
=3×${2}^{\frac{n-1}{2}}$．
∴c_n=$3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$．
故答案为：$3×{2}^{\frac{n-1}{2}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和等比数列的性质的合理运用．