Question

8．如下命题中：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；
②若满足条件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a的△ABC有两个，则$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{3}$；
③在等比数列{a_n}中，若其前n项和S_n=3ⁿ+a，则实数a=-1；
④若向量$\vec a=（1，1）$，$\vec b=（1，-2）$，则向量$\vec a$在向量$\vec b$方向上的投影是$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，则该球的体积为$\frac{{7\sqrt{14}}}{3}$π；
其中正确的命题序号有①③⑤（把你认为正确的命题序号填在横线上）．

Answer 1

分析 ①由正弦定理进行判断，
②根据三角形的边角关系进行判断，
③根据等比数列的性质进行判断，
④根据向量投影的公式进行判断，
⑤根据长方体的体对角线和外接球的直径相等进行求解．

解答 解：①在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，则A＞B成立，故①正确，
②若满足条件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a，则三角形的高AD=h=asinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
若满足条件的△ABC有两个，则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}＞\frac{\sqrt{3}}{2}a}\\{\sqrt{3}＜a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a＞\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得$\sqrt{3}$＜a＜2故②错误，
③在等比数列{a_n}中，若其前n项和S_n=3ⁿ+a，可得a₁=3+a，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2•3^n-1，a₂=6，a₃=18，则6²=18（3+a），解得a=-1，因此正确；
④若向量$\vec a=（1，1）$，$\vec b=（1，-2）$，则向量$\vec a$在向量$\vec b$方向上的投影为|$\vec a$|cos＜$\vec a$，$\vec b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1-2}{\sqrt{1+4}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，故④错误；
⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，
则以OA、OB、OC为棱的长方体的体对角线为直径，即2R=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{14}$．
则球半径R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，则该球的体积为$\frac{4}{3}•$π（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）³=$\frac{{7\sqrt{14}}}{3}$π；故⑤正确，
故答案为：①③⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．