20、 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件:,
,其中a为常数,k为非零常数.
(Ⅰ)令,证明数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)当时,求.
(Ⅰ)证明:见解析;
(Ⅱ)数列的通项公式为 ,
(Ⅲ)当时,
【解析】本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
(1)由题意知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),由此可知an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1.
(2)由b1=a2-a1≠0,知b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.因此bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1(a2-a1)≠0,由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列.
(3){an}是等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1);先进行充分性证明:若f(x)=kx(k≠1),则{an}是等比数列.再进行必要性证明:若{an}是等比数列,f(x)=kx(k≠1).
(Ⅰ)证明:由,可得
.由数学归纳法可证
.
由题设条件,当时
因此,数列是一个公比为k的等比数列.
(Ⅱ)解:由(1)知,
当时,
当时, .
而
所以,当时, .上式对也成立. 所以,数列的通项公式为. 当时
。上式对也成立,所以,数列的通项公式为 ,
(Ⅲ)解:当时,
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
4 |
3 |
2 |
A、1 | B、-1 | C、2 | D、-2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
b |
1 |
a |
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科目:高中数学 来源:2009-2010学年浙江省杭州高级中学高三第二次月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题
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科目:高中数学 来源:2011年四川省宜宾市南溪一中高考数学一诊模拟试卷1(文科)(解析版) 题型:选择题
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