Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，2S_n=a_n+1-1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并求数列{a_n+2n-1}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2S_n=a_n+1-1，分别n=1，2即可得出；
（II）利用递推关系与等比数列的通项公式可得a_n，再利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=a_n+1-1，
∴2a₁=a₂-1．
又∵a₁=1，
∴a₂=3．
取n=3时，2S₂=a₃-1，即2（a₁+a₂）=a₃-1，
∴a₃=9． 
（Ⅱ）∵2S_n=a_n+1-1，
∴当 n≥2时，2S_n-1=a_n-1，
∴2a_n=a_n+1-a_n，即a_n+1=3a_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3（n≥2）$．
由a₁=1，a₂=3，得$\frac{a_2}{a_1}=3$，
∴{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴${a_n}={3^{n-1}}（n∈{{N}^*}）$，
∴${T_n}={3^0}+1+{3^1}+3+{3^2}+5+…+{3^{n-1}}+2n-1$
=（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1）+（1+3+5+…+2n-1）
$\begin{array}{l}=\frac{{1-{3^n}}}{1-3}+\frac{n（1+2n-1）}{2}=\frac{{{3^n}-1}}{2}+{n^2}\end{array}$=$\frac{{{3^n}-1}}{2}+{n^2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．