Question

19．设函数g（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0），满足：当x₁，x₂∈R时，有|g（x₁）-g（x₂）|≤$\frac{1}{4}$，当相位为$\frac{π}{6}$时，g（x）的值为$\frac{7}{16}$．
（1）当g（x）的周期为π，初相为$\frac{π}{3}$，且g（x）≥$\frac{1}{2}$时，求x的范围；
（2）若f（x）=ax-$\frac{3}{2}$x²的最大值不大于$\frac{1}{6}$，且f（g（x））≥$\frac{1}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知分别求出A，ω，φ，B的值，可得函数的解析式，结合g（x）≥$\frac{1}{2}$，可得满足条件的x的范围；
（2）令t=g（x），则t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，则f（t）≥$\frac{1}{8}$，t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，结合f（x）=ax-$\frac{3}{2}$x²的最大值不大于$\frac{1}{6}$，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{a}^{2}}{6}≤\frac{1}{6}\\-\frac{3}{32}+\frac{1}{4}a≥\frac{1}{8}\\-\frac{3}{8}+\frac{1}{2}a≥\frac{1}{8}\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）∵T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
∵初相为$\frac{π}{3}$，
φ=$\frac{π}{3}$，
∵当x₁，x₂∈R时，有|g（x₁）-g（x₂）|≤$\frac{1}{4}$，
∴A=$\frac{1}{8}$，
∵当相位为$\frac{π}{6}$时，g（x）的值为$\frac{7}{16}$，
∴$\frac{1}{8}$sin$\frac{π}{6}$+B=$\frac{7}{16}$，
∴B=$\frac{3}{8}$，
∴g（x）=$\frac{1}{8}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{8}$，
∴g（x）≥$\frac{1}{2}$，即
$\frac{1}{8}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{8}$$≥\frac{1}{2}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1，
∵sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴{x|x=$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z}，
（2）令t=g（x），则t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
∵f（x）=ax-$\frac{3}{2}$x²的最大值不大于$\frac{1}{6}$，f（t）≥$\frac{1}{8}$，t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{a}^{2}}{6}≤\frac{1}{6}\\-\frac{3}{32}+\frac{1}{4}a≥\frac{1}{8}\\-\frac{3}{8}+\frac{1}{2}a≥\frac{1}{8}\end{array}\right.$，
解得：a=1

点评 本题主要考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象和性质，利用正弦函数图象和性质求三角函数值域的方法，属中档题．