Question

（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．
（2）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线
C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；  
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）连接OD，可得∠OAD=∠OAD=∠DAC，可得OD∥AE，再由AE⊥DE，OD⊥DE，证得DE是⊙O的切线．
（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，求出cos∠DOH=cos∠CAN=

AC

AB

=

3

5

．再由△ADE∽△ADB以及△AEF∽△ODF，可得

AF

DF

=

AE

DO

=

5

8

．
（2）（Ⅰ）把曲线C方程的两边同时乘以ρ 可得 ρ²sin²θ=2a•ρ•cosθ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式求出它的直角坐标方程，由直线L的参数方程消去参数t，求出它的普通方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入 y²=2ax，再利用根与系数的关系，求出t₁+t₂ 和t₁•t₂ 的值，代入|MN|²=|PM||PN|，求出a的值．

解答：解：（1）（Ⅰ）证明：连接OD，可得∠OAD=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE．
又 AE⊥DE，OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．-----（6分）
（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAN，∴cos∠DOH=cos∠CAN=

AC

AB

=

3

5

．------（6分）
设 OD=5x，则 AB=10x，OH=3x，DH=4x．
∴AH=8x，AD²=80x²，-----（8分）
由△ADE∽△ADB可得  AD²=AE•AB=AE•10x，∴AE=8x．
又△AEF∽△ODF，

AF

DF

=

AE

DO

=

5

8

．------（12分）
（2）解：（Ⅰ）已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2a•ρ•cosθ，即 y²=2ax．
直线L的参数方程

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，两式相减可得 y=x-2．-------（6分）
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

 （t为参数），
代入 y²=2ax得到 t2-2

2

(4+a)t +8(4+a)=0，
则有 t₁+t₂=2

2

（4+a），t₁•t₂=8（4+a），-----------（8分）
因为|MN|²=|PM||PN|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4 t₁•t₂=t₁•t₂，
解得 a=1．-----------（12分）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，等比数列的定义和性质，圆的切线判定定理的应用，属于基础题．