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    设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．

     

    答案：
    解析：

    		证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．

      (2) 若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．

     


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    （i)f（－1)＝f（1)＝0；

    （ii)对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|≤|u－v|．

    （Ⅰ)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f（x)≤1－x；

    （Ⅱ)判断函数g（x)＝是否满足题设条件；

    （Ⅲ)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数y＝f（x)，且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f（u)－f（v)|＝|u－v|．

    若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：新课标教材全解高中数学人教A版必修1 人教A版 题型：044

    设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：

    ①f(－1)＝f(1)＝0；

    ②对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

    (1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

    (2)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1．

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    科目：高中数学 来源：成功之路·突破重点线·数学（学生用书） 题型：047

    设y＝f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件；

    (i)f(－1)＝f(1)＝0；

    (ii)对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

    (Ⅰ)证明：对任意的x∈[－1，1]都有x－1≤f(x)≤1－x；

    (Ⅱ)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1；

    (Ⅲ)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y＝f(x)，且使得

    若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．

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