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已知圆C经过点,且圆心在直线上,且,又直线与圆C相交于两点.

(I)求圆C的方程;

(II)若,求实数的值;

(III)过点作直线垂直,且直线与圆C交于两点,求四边形面积的最大值.

(1)(2) (3)


解析:

(I)设圆心半径为. 因为圆经过点        

所以,解得 ,              …………………2分

      所以圆的方程是 .                      …………………4分

     (II)方法一:

因为,               …………………6分

      所以, ,                …………………7分

所以圆心到直线的距离,           …………………8分

      又,所以.                         …………………9分

     方法二:设,

因为,代入消元得.   …………………6分

由题意得:                …………………7分

因为=,                    

       又,

所以,  =,     …………………8分

化简得:

所以 即.                               …………………9分

(III)方法一:

设圆心到直线的距离分别为,四边形的面积为.        

因为直线都经过点,且

根据勾股定理,有,                       …………………10分

又根据垂径定理和勾股定理得到,,

                                                    ………………11分

,即

…………13分

当且仅当时,等号成立,所以的最大值为.      ………………14分

方法二:设四边形的面积为.

当直线的斜率时,则的斜率不存在,

此时.                            …………………10分

当直线的斜率时,

  ,代入消元得

所以

同理得到.

                                                  ………………11分

         ………………12分

因为

所以 ,                      ………………13分

当且仅当时,等号成立,所以的最大值为.           ………………14分

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.
OQ
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OC
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