【题目】已知函数(k为常数,e为自然对数的底数),曲线在点(1, f (1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求的单调区间;
(3)设其中为的导函数,证明:对任意
【答案】(1);(2) 在区间内为增函数;在内为减函数;(3)见解析.
【解析】分析:(1)由导数的几何意义得,即可得解;
(2)求导,导数大于0可得增区间,导数小于0可得减区间;
(3)由,当,分析单调性易证得成立;当,分析不等式,只需证即可,设,求导求最值即可证得,,从而得证.
详解:(1)由f(x) = 可得,而,
即,解得;
(2),令可得,
当时,;
当时,。
于是在区间内为增函数;在内为减函数.
(3),
当时, ,.
当时,要证.
只需证即可
设函数.
则,
则当时,
令解得,
当时;当时,
则当时,且,
则,于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.
【另证1】设函数,则,
则当时,
于是当时,要证,
只需证即可,
设,,
令解得,
当时;当时,
则当时,
于是可知当时成立
综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立.
【另证2】根据重要不等式当时,即,(要证明)
于是不等式,
设,,
令解得,
当时;当时,
则当时,
于是可知当时成立.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆的方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,直线的极坐标方程为
(1)当时,判断直线与圆的关系;
(2)当上有且只有一点到直线的距离等于时,求上到直线距离为的点的坐标.
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【题目】据市场调查发现,某种产品在投放市场的30天中,其销售价格(元)和时间(天)的关系如图所示.
(1)求销售价格(元)和时间(天)的函数关系式;
(2)若日销售量(件)与时间(天)的函数关系式是 ,问该产品投放市场第几天时,日销售额(元)最高,且最高为多少元?
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【题目】设函数f(x)=mlnx+(m﹣1)x.
(1)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范围.
(2)当m=1时,试问方程xf(x)﹣ =﹣ 是否有实数根,若有,求出所有实数根;若没有,请说明理由.
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【题目】如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0).且点C与点D在函数f(x)= 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则该点取自空白部分的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1、F2 , 这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2 , 则e1e2的取值范围为( )
A.
B.
C.(2,+∞)
D.
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